\documentclass{report}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dutch]{babel}
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}
%TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{Created=Wednesday, September 29, 2004 16:07:10}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, March 09, 2006 12:21:42}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX Report.cst}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\input{tcilatex}
\begin{document}
\title{Steenkolenverbranding}
\author{Alexander van der Bent \&\ Ingeborg Bikker}
\date{09-03-2006}
\maketitle
\tableofcontents
\chapter{Inleiding}
\bigskip
Een internationaal energiebedrijf produceert gas voor verlichtings- en
verwarmingsdoeleinden uit de vergassing van steenkolen in een oven. De
steenkolenoven bestaat uit een cilindervormige bak die tot op zekere hoogte
is gevuld met gloeiende steenkolen. Elke steenkool is en blijft bolvormig
gedurende het vergassingsproces, dus we beschouwen de steenkolen als bollen
in dit verslag.
Er wordt ons gevraagd om een wiskundig model op te stellen voor de
vergassing van steenkolen in stationaire toestand. In dit model moeten we
onder andere de straal en benedenwaartse snelheid als functie van de hoogte
beschrijven. We zullen in dit rapport eerst de probleemstelling formuleren.
Daarna stellen we een wiskundig model op, dat we vervolgens oplossen. Als
het wiskundige gedeelte is afgerond, volgen er een conclusie en een
evalutatie.
\bigskip
\chapter{Probleemstelling}
\bigskip
De vergassing van de steenkolen vindt plaats in een cilindervormige oven.
Van bovenaf wordt voortdurend een constante stroom nieuwe steenkolen
toegevoegd. Omdat het volume van de steenkolen afneemt, komen er steenkolen
van verschillende groottes door elkaar heen te liggen. Elke steenkool is en
blijft bolvormig gedurende het vergassingsproces. We zullen daarom gedurende
dit verslag de steenkool zien als een bol. De vergassing van de steenkool
vindt slechts plaats op het boloppervlak van de steenkool zodanig dat de
verbrandingssnelheid recht evenredig is met de oppervlakte van de bol. De
vergassing van steenkolen veroorzaakt een benedenwaartse verplaatsing van
steenkolen. De temperatuur is overal in de oven gelijk en de dichtheid van
de steenkool is constant gedurende het vergassingsproces. Daarnaast mogen we
er vanuit gaan dat de aangevoerde steenkolen allemaal dezelfde diameter
hebben en dat die diameter veel kleiner is dan de diameter van de oven. Er
blijven geen vergassingsresten in de oven over, doordat lucht door een
rooster in de bodem van de oven de resten van de kolen omhoog de oven
uitblaast.
\bigskip
Gevraagd wordt een wiskundig model op te stellen voor de vergassing van
steenkolen in stationaire toestand. Het model dient zowel de straal als de
benedenwaartse snelheid van de steenkool in stationaire toestand als functie
van de hoogte te beschrijven.\ Bovendien moet de massa van de constante
hoeveelheid nieuwe steenkolen in stationaire toestand beschreven worden.
\chapter{Model}
\subsection{Stap 1}
Als eerste bepalen we de straal $r$ van de steenkool als functie van de tijd
$t$ met behulp van de aanname over de vergassingssnelheid van de steenkool.
We nemen aan dat de verbrandingssnelheid recht evenredig is met de
oppervlakte van de bol. We defini\"{e}ren de verbrandingssnelheid als de
afname van de massa van een steenkool. De massa van een steenkool hangt af
van de tijd dat deze in de verbrandingsoven zit: $m(t)$. We nemen $m$ in kg
en $t$ in seconden. De eenheid van $m^{\prime }(t)$ wordt dan $kg/s$: dit is
precies de eenheid van de verbrandingssnelheid. We krijgen dan:%
\begin{equation*}
m^{\prime }(t)=k\cdot A_{bol}=k4\pi \lbrack r(t)]^{2}
\end{equation*}%
Hierin is $k$ een evenredigheidsconstante en $A_{bol}$ de oppervlakte van
een bol.
\bigskip De massa van een bol is de dichtheid $\rho $ vermenigvuldigd met
het volume $V_{bol}$. In formulevorm wordt dit:%
\begin{equation*}
m(t)=\rho \cdot V_{bol}=\rho \tfrac{4}{3}\pi \lbrack r(t)]^{3}
\end{equation*}
We gaan deze formule differenti\"{e}ren naar de tijd en krijgen dan:%
\begin{equation*}
m^{\prime }(t)=\rho 4\pi \lbrack r(t)]^{2}\frac{dr}{dt}
\end{equation*}
Als we nu bovenstaande vergelijkingen aan elkaar gelijkstellen krijgen we:%
\begin{equation*}
k4\pi \lbrack r(t)]^{2}=4\pi \rho \lbrack r(t)]^{2}\frac{dr}{dt}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
k=\rho \frac{dr}{dt}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\frac{dr}{dt}=\frac{k}{\rho }=\kappa
\end{equation*}%
\begin{equation*}
r(t)=\kappa t+C
\end{equation*}
Hierin is $C$ de integratieconstante die we op kunnen lossen door de straal $%
r$ op tijdstip $t=0$ te berekenen. We krijgen dan:%
\begin{equation*}
r(0)=0\cdot t+C=C
\end{equation*}
Als we dit invullen in bovenstaande vergelijking en $r_{0}$ schrijven voor
de straal op $t=0$ , levert dit op:%
\begin{equation*}
r(t)=\kappa t+r_{0}
\end{equation*}
Men dient zich te realiseren dat de waarde van $\kappa $ negatief is, want
de straal neemt natuurlijk af naarmate de tijd verstrijkt.
Met deze gegevens kan ook de verbrandingstijd $t_{v}$ worden berekend. Deze
wordt bereikt als $r(t)=0$:%
\begin{equation*}
\kappa t_{v}+r_{0}=0
\end{equation*}%
\begin{equation*}
t_{v}=\frac{-r_{0}}{\kappa }
\end{equation*}
\bigskip
\begin{tabular}{ll}
$r$ & straal van een steenkool \\
$t$ & tijd die verstreken is sinds de kolen in de oven zijn gedaan \\
$m(t)$ & massa van de kolen op tijdstip $t$ \\
$m%
%TCIMACRO{\U{b4}}%
%BeginExpansion
{\acute{}}%
%EndExpansion
(t)$ & de verbrandingssnelheid van de kolen \\
$A_{bol}$ & oppervlakte van een steenkool \\
$r(t)$ & de straal van een steenkool op tijdstip $t$ \\
$\rho $ & dichtheid van steenkool \\
$\kappa $ & constante, gedefinieerd als het quotient van $k$ en $\rho $ \\
$r_{0}$ & de straal van een steenkool op $t=0$ \\
$t_{v}$ & verbrandingstijd van een steenkool%
\end{tabular}
\bigskip
\subsection{Stap 2}
Vervolgens vatten we zowel de straal $r$ als de benedenwaartse snelheid $v$
van de steenkool in stationaire toestand op als functie van de hoogte $h$
(ten opzichte van de bodem van de oven). We leiden hiertoe \'{e}\'{e}n
gezamenlijke differentiaalvergelijking voor $r(h)$ en $v(h)$ af door de
verandering van de straal ter hoogte $h$ gedurende een infinitesimale
tijdsperiode $\Delta t$ op twee manieren te beschrijven. We nemen $h$ als de
hoogte op een bepaald tijdstip en $\hat{h}$ als de hoogte die na een
infinitesimaal tijdsinterval $\triangle t$ bereikt wordt:%
\begin{equation*}
r(\hat{h})=r(h)+\kappa \triangle t
\end{equation*}
Verder kunnen we een lineaire benadering op $\hat{h}$ toepassen:%
\begin{equation*}
\hat{h}=h(t+\triangle t)\approx h(t)+h^{\prime }(t)\triangle
t=h(t)+v(h)\triangle t
\end{equation*}%
\begin{equation*}
r(\hat{h})=r(h+v(h)\triangle t)=r(h)+r^{\prime }(h)v(h)\triangle t
\end{equation*}
Als we bovenstaande vergelijkingen aan elkaar gelijk stellen krijgen we \'{e}%
\'{e}n gezamenlijke differentiaalvergelijking voor $r(h)$ en $v(h)$:%
\begin{equation*}
r(h)+\kappa \triangle t=r(h)+r^{\prime }(h)v(h)\triangle t
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\kappa =r^{\prime }(h)v(h)
\end{equation*}
\begin{equation*}
v(h)=\frac{\kappa }{r^{\prime }(h)}
\end{equation*}
\bigskip
\begin{tabular}{ll}
$h$ & hoogte waarop een steenkool zich bevindt \\
$\Delta t$ & infinitesimaal tijdsinterval \\
$\hat{h}$ & hoogte na een infinitesimaal tijdsinterval $\Delta t$ \\
$v(h)$ & snelheid als functie van de hoogte \\
$v(t)$ & snelheid als functie van de tijd \\
$r(h)$ & straal als functie van de hoogte%
\end{tabular}
\bigskip
\subsection{Stap 3}
We leiden \'{e}\'{e}n andere gezamenlijke differentiaalvergelijking voor $%
r(h)$ en $v(h)$ af door de verandering van een laag gloeiende steenkolen ter
hoogte $h$ met een dikte $\Delta h$ gedurende een tijdsperiode $t$ op twee
manieren te beschrijven.
In een bepaalde laag steenkolen met hoogte $\triangle h$ kunnen we aannemen
dat alle kolen een gelijke straal hebben. Verder nemen we aan dat elke
bolvormige steenkool de ruimte inneemt van een kubusvormige steenkool. Een
ribbe van deze kubus heeft dan een lengte gelijk aan 2 maal de straal van de
bol. We corrigeren de extra ruimte die een kubus inneemt met een factor $%
\gamma $.
De hoeveelheid kolen $N$ in deze laag kunnen we berekenen door het volume
van een cilinder, $V_{cil}$, op twee manieren te beschrijven, namelijk%
\begin{equation*}
V_{cil}=A_{cil}\cdot \Delta h
\end{equation*}%
en%
\begin{equation*}
V_{cil}=N\cdot \beta \cdot V_{bol}
\end{equation*}
Hierin is $A_{cil}$ de oppervlakte van het grondvlak van de cilinder en $%
\beta $ een evenredigheidsconstante die staat voor de bolbepakking. Als er
bollen op elkaar gestapeld worden, ontstaan er namelijk ruimtes tussen de
bollen. Hierdoor is het volume van de cilinder niet exact gelijk aan het
aantal bollen vermenigvuldigd met hun volume. Als we $N\cdot V_{bol}$
vermenigvuldigen met een constante $\beta >1$, krijgen we het exacte volume
van de cilinder.
We willen nu het volume van de cilinder niet baseren op het volume van de
kolen als bollen, maar als kubussen.
Het volume van een bol en zijn omgeschreven kubus, $V_{kubus}$ verhouden
zich als volgt:%
\begin{equation*}
V_{bol}=\gamma \cdot V_{kubus}
\end{equation*}
Als we nu bovenstaande vergelijkingen combineren en $(2r(h))^{3}$ schrijven
voor $V_{kubus}$, ontstaat de volgende vergelijking:%
\begin{equation*}
V_{cil}=N\cdot \beta \cdot \gamma \cdot V_{kubus}=N\cdot \alpha \lbrack
2r(h)]^{3}
\end{equation*}
We stellen nu aan elkaar gelijk:%
\begin{equation*}
A_{cil}\cdot \Delta h=N\cdot \alpha \lbrack 2r(h)]^{3}
\end{equation*}
We kunnen nu het aantal bollen in een laag steenkolen schrijven als functie
van de straal $r(h)$ op hoogte $h$:%
\begin{equation*}
N=\frac{A_{cil}\cdot \triangle h}{\alpha \lbrack 2r(h)]^{3}}=\frac{%
A_{cil}\cdot \triangle h}{8\alpha \lbrack r(h)]^{3}}
\end{equation*}
\bigskip
Een tijdstip $\triangle t$ later (wanneer de hoogte van de laag dus is
veranderd van $\triangle h$ naar $\triangle \hat{h}$) is het aantal
steenkolen natuurlijk nog steeds even groot, alleen is de straal van de
kolen kleiner geworden. De straal $r(h)$ op hoogte $h$ uit formule wordt nu
vervangen door $r(\hat{h})$, de straal op hoogte $\hat{h}$:%
\begin{equation*}
N=\frac{A_{cil}\cdot \triangle \hat{h}}{8\alpha \lbrack r(\hat{h})]^{3}}
\end{equation*}
We vullen nu eerste formule uit stap 2 in in de vorige vergelijking en
krijgen vervolgens:%
\begin{equation*}
N=\frac{A_{cil}\cdot \triangle \hat{h}}{8\alpha \lbrack r(h)+\kappa
\triangle t]^{3}}
\end{equation*}
We hebben nu op twee manieren het aantal steenkolen geschreven als functie
van $r(h)$. We gaan nu bovenstaande twee vergelijkingen aan elkaar gelijk
stellen:%
\begin{eqnarray*}
\frac{A_{cil}\cdot \triangle h}{8\alpha \lbrack r(h)]^{3}} &=&\frac{%
A_{cil}\cdot \triangle \hat{h}}{8\alpha \lbrack r(h)+\kappa \triangle t]^{3}}
\\
\frac{\triangle h}{[r(h)]^{3}} &=&\frac{\triangle \hat{h}}{[r(h)+\kappa
\triangle t]^{3}} \\
\frac{\triangle \hat{h}}{\triangle h} &=&\frac{[r(h)+\kappa \triangle t]^{3}%
}{r(h)^{3}} \\
&=&\frac{[r(h)]^{3}+3[r(h)]^{2}\kappa \triangle t+3r(h)[\kappa \triangle
t]^{2}+[\kappa \triangle t]^{3}}{[r(h)]^{3}} \\
&=&1+3\frac{\kappa \triangle t}{r(h)}+3\frac{\kappa ^{2}\triangle t^{2}}{%
[r(h)]^{2}}+\frac{\kappa ^{2}\triangle t^{3}}{[r(h)]^{3}}
\end{eqnarray*}
We kunnen weer een lineaire benadering op de snelheid bij hoogte $%
h+\triangle h$ toepassen:%
\begin{equation*}
v(h+\triangle h)=v(h)+\frac{\triangle \hat{h}-\triangle h}{\triangle t}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
v(h+\triangle h)-v(h)=\frac{\triangle \hat{h}-\triangle h}{\triangle t}
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\frac{v(h+\triangle h)-v(h)}{\triangle h}=\frac{\dfrac{\triangle \hat{h}}{%
\triangle h}-1}{\triangle t}
\end{equation*}
Nu kunnen we substitueren:%
\begin{eqnarray*}
\frac{v(h+\triangle h)-v(h)}{\triangle h} &=&\frac{[1+3\dfrac{\kappa
\triangle t}{r(h)}+3\dfrac{\kappa ^{2}\triangle t^{2}}{r(h)^{2}}+\dfrac{%
\kappa ^{3}\triangle t^{3}}{r(h)^{3}}]-1}{\triangle t} \\
&=&\frac{3\dfrac{\kappa \triangle t}{r(h)}+3\dfrac{\kappa ^{2}\triangle t^{2}%
}{r(h)^{2}}+\dfrac{\kappa ^{3}\triangle t^{3}}{r(h)^{3}}}{\triangle t} \\
&=&3\frac{\kappa }{r(h)}+3\frac{\kappa ^{2}\Delta t}{[r(h)]^{2}}+3\frac{%
\kappa ^{3}\Delta t^{2}}{[r(h)]^{3}}
\end{eqnarray*}
Als we aan de linkerkant de limiet voor $\triangle h$ naar $0$ nemen,
krijgen we de afgeleide van de snelheid naar de hoogte:%
\begin{equation*}
v^{\prime }(h)=3\frac{\kappa }{r(h)}+3\frac{\kappa ^{2}\Delta t}{[r(h)]^{2}}%
+3\frac{\kappa ^{3}\Delta t^{2}}{[r(h)]^{3}}
\end{equation*}
Aangezien $\triangle t$ een infinitesimaal tijdsinterval voorstelt, nemen we
de limiet voor $\triangle t$ naar $0$:%
\begin{eqnarray*}
v^{\prime }(h) &=&\lim_{\triangle t->0}3\frac{\kappa }{r(h)}+3\frac{\kappa
^{2}\Delta t}{[r(h)]^{2}}+3\frac{\kappa ^{3}\Delta t^{2}}{[r(h)]^{3}} \\
&=&3\frac{\kappa }{r(h)}
\end{eqnarray*}
Nu hebben we dus een tweede gezamenlijke differentiaalvergelijking voor $r(h)
$ en $v(h)$ afgeleid.
\begin{tabular}{ll}
$N$ & aantal bollen in een laag \\
$h(t)$ & hoogte als functie van de tijd%
\end{tabular}
\subsection{Stap 4}
Nu combineren we de twee verkregen differentiaalvergelijkingen teneinde de
straal $r(h)$ \'{e}n de benedenwaartse snelheid $v(h)$ te bepalen als
functie van de hoogte $h$.
We hebben dus nu twee differentiaalvergelijkingen gekregen, namelijk:%
\begin{equation*}
v(h)=\frac{\kappa }{r^{\prime }(h)}
\end{equation*}%
en%
\begin{equation*}
v^{\prime }(h)=3\frac{\kappa }{r(h)}
\end{equation*}%
We kunnen deze twee vergelijkingen combineren om zodoende de straal als
functie van de hoogte en de benedenwaardse snelheid van de bollen als
functie van de hoogte te bepalen:%
\begin{equation*}
v^{\prime }(h)=\left( \frac{\kappa }{r^{\prime }(h)}\right) ^{\prime }=3%
\frac{\kappa }{r(h)}
\end{equation*}
Om deze vergelijking op te lossen, differenti\"{e}ren we $\dfrac{\kappa }{%
r^{\prime }(h)}$ naar $h$. Dit levert op:%
\begin{equation*}
v^{\prime }(h)=-\frac{\kappa \frac{d^{2}}{dh^{2}}r(h)}{\left( \frac{d}{dh}%
r(h)\right) ^{2}}=3\frac{\kappa }{r(h)}
\end{equation*}
We krijgen opnieuw een differentiaalvergelijking. Deze lossen we op voor $%
r(h)$ en dat geeft:%
\begin{equation*}
r(h)=(4c_{1}h+4c_{2})^{(1/4)}
\end{equation*}
We kunnen $c_{1}$ en $c_{2}$ berekenen door de voorwaarden $r(0)=0$ en $%
r(H)=r_{begin}$ in te vullen. Dit levert op:%
\begin{equation*}
r(h)=(\frac{h}{H})^{(1/4)}r_{begin}
\end{equation*}
Zo kunnen we $v(h)$ ook bepalen door $r\prime (h)$ te berekenen en in te
vullen:%
\begin{equation*}
v(h)=\frac{\kappa }{r^{\prime }(h)}=\frac{4H\kappa }{r_{begin}}\left( \frac{h%
}{H}\right) ^{(\dfrac{3}{4})}
\end{equation*}
\bigskip
\begin{tabular}{ll}
$H$ & constante hoogte van de laag steenkolen%
\end{tabular}
\subsection{Stap 5}
We kunnen dan de massa $m(t)$ uitrekenen met de formule:%
\begin{equation*}
m(t)=\rho \cdot V(t)
\end{equation*}
Om nu te bepalen wat de gezamenlijke massa van de bollen in de oven is na
tijdseenheid $t$ wanneer er geen kolen meer toegevoegd wordt, moeten we
eerst weten hoeveel er dan in zit:
Het totale volume van deze bollen is:%
\begin{equation*}
V=\int \psi Nr^{2}dh
\end{equation*}%
\bigskip
We corrigeren hier het volume met constante $\psi $, omdat we de inhoud van
cilinders optellen in plaats van bollen.
Het aantal bollen $N$ is hierin gelijk aan:%
\begin{equation*}
N=\beta \frac{R^{2}}{r^{2}}
\end{equation*}
met $\beta $ een constante in verband met de open ruimtes tussen de
steenkolen en $R$ de straal van de oven.
Het totale volume van de bollen wordt dan verkregen door:%
\begin{equation*}
V=\int \psi Nr^{2}dh=\int \frac{\psi }{\beta }\frac{R^{2}}{r^{2}}%
r^{2}dh=\int \varepsilon R^{2}dh
\end{equation*}
Hierin is:%
\begin{equation*}
\varepsilon =\frac{\psi }{\beta }
\end{equation*}
We gaan kijken naar de afname van het volume. Hiervoor bepalen we eerst het
verschil in volume tussen twee hoogtes $h$ en $h+v(h)dt$:%
\begin{equation*}
\Delta V=\int_{h+v(h)dt}^{h}\varepsilon R^{2}dh=\varepsilon
R^{2}\int_{h+v(h)dt}^{h}dh=-\varepsilon R^{2}v(h)dt
\end{equation*}
We delen links en rechts door $dt$:%
\begin{equation*}
\frac{dV}{dt}=V^{\prime }(t)=-\varepsilon R^{2}v(h)
\end{equation*}
De snelheid $v(h)$ als functie van de hoogte hebben we al eerder bepaald,
namelijk in stap 4.
\begin{equation*}
v(h)=\frac{4H\kappa }{r_{begin}}\left( \frac{h}{H}\right) ^{(\frac{3}{4})}
\end{equation*}
Om $V(t)$ te bepalen moeten we eerst $h(t)$ hebben. Deze bepalen we met
behulp van $r(h)$ en $r(t)$.%
\begin{equation*}
r(h)=r(t)=(\frac{h}{H})^{(1/4)}r_{begin}=\kappa t+r_{0}
\end{equation*}
Hieruit volgt:%
\begin{equation*}
h(t)=\frac{\left( -\kappa t-r_{begin}\right) ^{4}H}{r_{begin}^{4}}
\end{equation*}
Als we gaan substitueren, krijgen we:%
\begin{eqnarray*}
v(t) &=&\frac{4H\kappa }{r_{begin}}\left( \frac{\dfrac{\left( -\kappa
t-r_{begin}\right) ^{4}H}{r_{begin}^{4}}}{H}\right) ^{(\dfrac{3}{4})} \\
&=&\frac{4H\kappa (-\kappa t-r_{begin})^{3}}{r_{begin}^{4}}
\end{eqnarray*}
Dit vullen we in:%
\begin{equation*}
V^{\prime }(t)=-\varepsilon R^{2}v=-\varepsilon R^{2}\frac{4H\kappa (-\kappa
t-r_{begin})^{3}}{r_{begin}^{4}}
\end{equation*}
Het volume wordt dan:%
\begin{eqnarray*}
V(t) &=&\int -\varepsilon R^{2}\frac{4H\kappa (-\kappa t-r_{begin})^{3}}{%
r_{begin}^{4}}dt \\
V(t) &=&\varepsilon R^{2}\frac{H(-\kappa t-r_{begin})^{4}}{r_{begin}^{4}}%
+C_{1}
\end{eqnarray*}
En omdat :%
\begin{equation*}
C_{1}=V_{begin}=\varepsilon R^{2}H
\end{equation*}
is:%
\begin{equation*}
V(t)=\varepsilon R^{2}(\kappa t+r_{begin})^{4}\frac{H}{r_{begin}^{4}}
\end{equation*}
Vermenigvuldigd met $\rho $ geeft de massa in de ketel als functie van de
tijd:%
\begin{equation*}
m(t)=\rho \varepsilon R^{2}(\kappa t+r_{begin})^{4}\frac{H}{r_{begin}^{4}}
\end{equation*}
\bigskip
\begin{tabular}{ll}
$R$ & straal van de oven \\
$V(t)$ & volume als functie van de tijd%
\end{tabular}
\chapter{Conclusie}
Er werd gevraagd om een wiskundig model op te stellen voor de vergassing van
steenkolen in stationaire toestand. We moesten de straal en benedenwaartse
snelheid als functie van de hoogte beschrijven. We kunnen nu concluderen dat
de straal steeds minder snel afneemt als de steenkolen omlaag gaan. Het
verband tussen de snelheid en de hoogte lijkt redelijk lineair, maar als de
kolen bijna op de bodem van de oven zijn, neemt de snelheid toch iets meer
af. In de bijlage bevindt zich een Maple-werkblad waarin we de grafieken
voor de straal en de benedenwaartse snelheid als functie van de hoogte
geplot hebben. Deze grafieken laten duidelijk het verband zien tussen de
straal en de hoogte (grafiek 1) en de benedenwaartse snelheid en de hoogte
(grafiek 2). De snelheid is in grafiek 2 negatief, omdat we de snelheid naar
boven zien als positieve snelheid. Omdat we de benedenwaartse snelheid
moeten hebben, is deze dus negatief.
Voor wat betreft de massa als functie van de tijd, kunnen we concluderen dat
de massa steeds minder afneemt naarmate de steenkool langer in de oven zit.
In het Maple-werkblad is in grafiek 3 dit verband goed te zien. Dus kan de
fabriek beter kleine steenkolen in de ovens gooien dan grote.
\chapter{Evaluatie}
We zullen hier de aannames bespreken die we in het model hebben gedaan.
We hebben aangenomen dat de kolen voordat ze de oven ingaan bolvormig zijn
en dat ze dat gedurende het verbrandingsproces in de oven ook zullen
blijven.
Vervolgens hebben we aangenomen dat de temperatuur in de oven overal even
hoog is.
Ten slotte hebben we aangenomen dat de dichtheid van de steenkolen niet
verandert in de oven.
In het Maple-werkblad hebben we een aantal grafieken geplot. Om dit te doen,
hebben we voor een aantal parameters geschatte waarden ingevuld. Deze
waarden zullen waarschijnlijk niet erg goed overeenkomen met de
werkelijkheid, maar het gaat erom dat het verband tussen de veriabelen te
zien is.
\chapter{Appendix A}
Op de volgende pagina bevindt zich het Maple-werkblad waarin de grafiek van $%
r(h)$, de straal als functie van de hoogte, $v(h)$, de snelheid als functie
van de hoogte en $m(t)$, de massa als functie van de tijd geplot zijn.
\end{document}